Елена Косилова ([info]kosilova) wrote,
@ 2008-04-28 11:43:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend  Next Entry
Entry tags:онтология

геометрия
На Ломоносовских чтениях у нас, во время дискуссии о современных неклассических стратегиях философствования, очень часто звучал аргумент, отсылающий к математической аналогии. Мол, раньше думали что есть только одна истинная геометрия, а после Лобачевского и др. стали думать, что геометрий много.
Нет, это совершенно не правильно. Геометрий не много. Есть разные наборы аксиом и, соответственно, разные наборы теорем (и иногда разные способы доказательства, но это в геометрии, по-моему, не частое явление). Есть разные пространства - разных размерностей, разной кривизны, с разными метриками.
А геометрия одна. Геометрией называется способ работы, а не набор теорем


(34 comments) - (Post a new comment)


[info]timur0
2008-04-28 07:58 am UTC (link)
По-вашему, евклидовой, сферической и геометрии Лобачевского не существует?
Не знаю, аналогией чего служило упоминание "после Лобачевского", но тогда действительно произошел переворот в математическом сознании - считалось, что евклидова геометрия истинна потому, что она прямо следует из свойств мира (или свойств мышления - ну, Вы Канта лучше знаете). И только после Лобачевского и даже после Пуанкаре с его моделью возникло понимание, что геометрий в смысле наборов аксиом может быть много, и все они в той или иной степени приложимы к описанию реальности. Только после осознания этого факта и возникло понимание, что "геометрия - это способ работы".

(Reply to this) (Thread)

[info]j_soldier
2008-04-28 08:19 am UTC (link)
+1
К тому же нужно четко различать геометрию как науку (способ работы и т.д.) и геометрию как предмет науки, пространство мысли (геометрия Лобачевского или Евклида)

(Reply to this) (Parent)

[info]alexeigrekov
2008-04-28 10:13 am UTC (link)
Я бы сказал, что вопрос может быть поставлен о единственности или неединственности возможного соотнесения геометрии с нашим опытом. Это ведь примерно то, что Вы имели в виду?

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]timur0
2008-04-28 10:31 am UTC (link)
Не совсем так - сферическая геометрия успешно использовалась в асрономии и навигации задолго до. Но все эти геометрии (не помню, когда появилась дифференциальная геометрия, всякая кривизна поверхности) были именно специфическими конструкциями в евклидовом пространстве, были вложены в него. То есть евклидова геометрия была "естественной", изначальной, и все ее аксиомы считались именно присущими пространству как таковому. А после Лобачевского и Пуанкаре "пространства как такового" не стало. Вопрос не просто в опыте, а в онтологии, бытии. То есть реальность перестала быть геометрическим объектом и стала чем-то, что с большим или меньшим успехом можно описывать разными геометрическими конструкциями.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]alexeigrekov
2008-04-29 06:37 am UTC (link)
Так и я о том. Одно дело, когда геометрическое знание есть знание о "самой реальности", другое - о возможном опыте, третье - о возможном описании опыта.

(Reply to this) (Parent)

[info]kosilova
2008-04-28 10:35 am UTC (link)
Согласна. Но что я здесь имею в виду: сейчас у нас уже есть это понимание, что геометрия есть способ работы, а не наука о пространстве. И нам уже не стоит делать из геометрии некую "плюралистическую" науку. Хотя, Фалькао верно говорит ниже: если доводить до упора такой подход, геометрия растворится в теории множеств и в логике

(Reply to this) (Parent)

[info]steinkill
2008-04-28 08:08 am UTC (link)
мне казалось вы этот вопрос уже разбирали. можно ли говорить о философии математики или геометрии геометрии. можно же в разных значениях геометрию употреблять

(Reply to this) (Thread)

[info]kosilova
2008-04-28 10:36 am UTC (link)
Ну да, тут конечно есть вопрос об определении слова.

(Reply to this) (Parent)

[info]mike67
2008-04-28 08:58 am UTC (link)
Плюрализм до добра не доведет.

(Reply to this) (Thread)

[info]kosilova
2008-04-28 10:37 am UTC (link)
Это понятно, но и закрывать глаза на него тоже неверно, нужно разбираться, куда это болотце отвести.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]mike67
2008-04-28 10:50 am UTC (link)
Да.

(Reply to this) (Parent)
альтернативы
[info]falcao
2008-04-28 09:50 am UTC (link)
Трудности здесь в том, что никто не знает, что такое "геометрия вообще". Можно, конечно, для нескольких отдельных пространств ввести отдельную общую "шапку" и объединить их в одну, считая частными случаями одной Геометрии.

Несколько проще дело с алгеброй, потому что объяснить "на пальцах", в чём состоит суть геометрического подхода, очень трудно, а здесь это легко -- делаем какие-то манипуляции с буковками. Тогда встаёт тот же вопрос: как лучше считать? Что "алгебр" много (математики так и делают, употребляя слово "алгебра" в одном из смыслов как синоним "алгебраической системы"), или же всё это есть "ипостаси" некой "Алгебры"?

Второй подход на самом деле приводит к понятию "универсальной алгебры", а тогда это получается раздел математической логики -- теория моделей. То есть "алгебра" растворяется в логике.

Не происходит ли нечто подобное и с геометрией? Когда мы отказываемся от многих свойств "пространства", которые казались неизбежными, то постепенно приходим к понятию "множества". Это есть пространство, лишённое структуры. Там не задана ни топология, ни тем более метрика. При необходимости можно всё это ввести, но изначально -- ничего нет.

Если исходить из того, что "геометрия" -- это то, что изучает свойства неких "пространств", то тогда есть все основания считать теорию множеств разновидностью своего рода "геометрией". Тем более, что множество состоит из своих элементов в точности так же, как прямая состоит из точек; множества можно пересекать, объединять -- тут ясно, что они суть обобщение старых добрых "фигур".

И вот тут сразу встаёт известный вопрос: есть ли наиболее "правильная", "каноническая" теория множеств? Или тут неизбежно разветвление на кучу версий и подверсий? С аксиомой выбора и без неё; с континуум-гипотезой или с её отрицанием? И это только если мы берём уже известные и ранее рассматривавшиеся "дилеммы".

Что же касается поучительности самой истории с возникновением неевклидовой геометрии, то я вижу её прежде всего в том, что какие-то положения, казавшиеся "незыблемыми", оказались "зыблемыми". Не в смысле их "абсолютной правильности", а в смысле возможности привлечения или непривлечения. Поэтому в принципе совершенно не исключено, что какая-то "альтернативная" философия или история будет что-то описывать.

(Reply to this) (Thread)
Re: альтернативы
[info]kosilova
2008-04-28 10:51 am UTC (link)
спасибо, очень вразумительно написали, я задумалась. Сейчас подумаю и отвечу

(Reply to this) (Parent)

[info]alexeigrekov
2008-04-28 10:09 am UTC (link)
А что такое способ работы? Чем, скажем, способ работы в геометрии отличается от способа работы в теории чисел?

(Reply to this) (Thread)

[info]meshulash
2008-04-28 10:11 am UTC (link)
Разная интуиция.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]alexeigrekov
2008-04-28 10:18 am UTC (link)
Да, это верно. Хотя... функторы в некотором роде преодолевают границы между разными интуициями.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]meshulash
2008-04-28 10:30 am UTC (link)
В каком-то смысле - да.

(Reply to this) (Parent)

[info]kosilova
2008-04-28 10:39 am UTC (link)
ну мне-то это сейчас не принципиально. Важно, что не наука о пространстве, а способ работы, а такой же как в теории чисел или маленько другой - неважно.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]alexeigrekov
2008-04-29 06:41 am UTC (link)
Но ведь если все способы работы друг с другом совпадают, то и понятие "способ работы" становится пустым. Как раз интересно, по-моему, описать характерные черты именно геометрической интуиции.

(Reply to this) (Parent)

[info]meshulash
2008-04-28 10:11 am UTC (link)
"Геометрией называется способ работы, а не набор теорем"

Да.

(Reply to this) (Thread)

[info]mp_gratchev
2008-04-28 01:37 pm UTC (link)
— "Геометрией называется способ работы, а не набор теорем"

— Да.
Или по другому, геометрия - это не канон, а органон.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]meshulash
2008-04-29 12:52 pm UTC (link)
Ой :)

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]mp_gratchev
2008-04-29 01:32 pm UTC (link)
Будет желание, разверните свое междометие здесь: http://mp-gratchev.livejournal.com/59016.html

(Reply to this) (Parent)

[info]vklin
2008-04-28 02:21 pm UTC (link)
Не вижуу чем геометрия как способ работы отличается от других частей математики.

(Reply to this) (Thread)

[info]kosilova
2008-04-28 02:37 pm UTC (link)
В данном случае этот вопрос не принципиален. Я тоже думаю, что по большому счету ничем, но выше профессионалы говорят о различии интуиций. Но моя мысль была просто о том, что геометрия - это не наука о пространстве (евклидова одна, а неевклидова другая), а некий способ работы, который одинаков независимо от того, каков набор аксиом, евклидов он или неевклидов.

(Reply to this) (Parent)

[info]xwatcher
2008-04-28 02:38 pm UTC (link)
ну, так как во времена Канта "геометрия" и "евклидова геометрия" совпадали, то чтобы спасти прочтение классических
текстов, надо это понятие деконструировать, чтобы оно означало любую геометрию вообще, геометризуемость...
))) тем более, что на днях внесли поправки в закон об образовании, позволяющий отстранять людей от работы на основе подзаконных актов. говорить о множественности геометрий может стать опасно, если единая геометрия будет официальной, как марксизм-ленинизм - расщепление сознания припишут, как в старые-добрые... )))

(Reply to this) (Thread)

[info]kosilova
2008-04-28 07:00 pm UTC (link)
ну как это - единая геометрия будет официальной? закон о ней, что ли, будут принимать?

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]xwatcher
2008-04-29 08:20 am UTC (link)
ну, закон - это устарвшая форма. можно создать что-нибудь глубоко подзаконное, вроде Программы, где будет дано Определение, и все правильное должно будет редуцироваться к нему...

(Reply to this) (Parent)

[info]kaktus77
2008-04-28 05:37 pm UTC (link)
Это да. Но могут ведь и быть разные способы работы, который относят к области геометрии. Тогда вполне возможно, что геометрия опять не одна. Да и менялась исторически всячески - менялся способ работы, расщеплялся, возникал новый способ и все такое.

(Reply to this) (Thread)

[info]kosilova
2008-04-28 07:01 pm UTC (link)
вполне возможно, способы работы разные - у разных людей, например. Или в разных школах. Или в разные исторические эпохи. Но думаю, что они одинаковы при прочих равных условиях, то есть что они не зависимы от набора аксиом - вот что я имею в виду.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]kaktus77
2008-04-29 07:26 am UTC (link)
Да, я понял. Я не в плане возражения, а как бы про возможность дальнейшего разворачивания тезиса.

(Reply to this) (Parent)

[info]alisarin
2008-04-29 07:39 am UTC (link)
А можно как-либо сравнить различные концепции оснований геометрии по критерию "объёма" или ресурса описательной способности? Интересный момент - Евклидова геометрия может быть истолкована как достигающая максимума возможности форм или видов симметрии. Переход к нелинейным геометриям приводит к другим построениям картины симметрий.

И вообще, а что такое "физическое пространство"? :)

(Reply to this)


[info]dobro_vol
2008-04-29 09:58 pm UTC (link)
насчет "не правильно" - согласен, это просто переопределение термина "геометрия" из названия науки в обозначение метрических свойств определенного класса пространств. Древние греки вполне представляли свойства сферы - не зря ведь и кубатурой шара интересовались, и диаметр Земли измерили в 3 веке до н.э. (Эратосфен), да и звездное небо без этого изучать сложновато. То, что "геометрия" на сфере "неевклидова" и "риманова", то есть сумма углов "треугольника" больше 180 гр. - совершенно очевидно без всяких "неевклидовых геометрий". Любой грек, мысленно соединивший 3 звезды на небесной сфере, эту "неевклидовость" видел глазами. Например, звезда над головой, звезда на горизонте прямо перед вами, звезда на горизонте влево образуют треугольник, каждый угол которого равен 90 гр. - всего 270 гр. Риман и Лобачевский просто удачно обобщили это на общий случай и более высокие размерности современными методами.

насчет "способа работы", "интуиции" и т.п. - по-моему, способов и интуиций в геометрии очень много, они очень разные и неразрывно связаны с остальной математикой. Мне кажется, трудно выделить какие-то чисто геометрические способы. Начиная с аналитической геометрии Декарта, т.е. 17 века - вроде геометрия, но алгебраическими методами. Вместо евклидовых доказательств картинками - координаты и системы уравнений. Тензоры вообще на геометрию не похожи - абстрактные объекты, обобщения линейных пространств. Но метрический тензор и вычисления с ним - центральная часть чисто геометрической ОТО Эйнштейна. Да и вся дифференциальная геометрия - с одной стороны, продолжение идей Римана, с другой, явное расширение понятий касательной и дифференциала в математическом анализе. А топология - вроде очевидное продолжение идей геометрии, но фактически теория множеств, математический анализ, теория групп, и т.д., и т.п.

(Reply to this)


[info]sofia04m
2009-05-09 09:25 am UTC (link)
Доброе утро! Изучается ли высшая математика в технических вузах?

P.S. Благодарю за внимание.

(Reply to this)

(34 comments) - (Post a new comment)

Create an Account
Forgot your login or password?
Login w/ OpenID
English • Español • Deutsch • Русский…