Малинецкий о математике

Вчера в ИФРАНе было мероприятие про историю и будущее математики, очень интересный доклад прочитал Малинецкий. Вот конспект.

Доклад Малинецкого

Математикам надо решить, кто они: писатели или филологи? Другими словами, что для них важнее – язык или объект?
Долгое время считалось, что математика имеет некую особую роль и особое положение среди наук. Для нее была характерна непрерывность развития. До сих пор решаются те задачи, которые были поставлены древними (квадратура круга).
Теория = внешнее оправдание + метод + внутреннее совершенство

Но математика дает не только это. Что еще дала, например, теория Ньютона? Центральным моментом в ней было:
- введение фазовых пространств
- описание процессов с помощью динамической системы

Идеалом классической науки был механицизм. Математика внесла свою роль в построение детерминистической картины мира.

Затем наука разделилась. Вот главные точки бифуркации:
1. Научное познание (Ньютон, Лейбниц, Декарт) разделилось на естествознание и гуманитарное познание
2. Естествознание, в т.ч. математика, разделилось на чистое (Вейерштрасс, Гильберт) и прикладное (Эйлер, Пуанкаре)

Пуанкаре говорит: математика разрабатывает теории для естествознания.
Гильберт говорит: в математике есть своя логика.

Затем встала проблема строгости математических рассуждений. Началась она с проблемы непрерывности и дифференцируемости функций. Гильберт в отношении строгости был оптимист: после строгой постановки, считал он, все задачи разрешимы. Ну и вообще они были оптимисты: Эйнштейн, например, полагал, что природа представляет собой реализацию простейших математических моделей
Вот какой прогноз дал Пуанкаре по поводу будущего математики: будущее – в синтезе математики и физики.
Но возникает проблема математической интуиции. Вся современная наука контр-интуитивна. Наша интуиция распространяется только на механическое движение. Во всех остальных вещах она пасует

Сейчас к сожалению развивается спортивная математика. Она основана на внутреннем совершенстве и преодолении сверх-трудностей. Гильберт поставил глубокие проблемы, думал, что их решение продвинет математику вперед. Но ничего не продвинуло. Следовательно, будущее нужно искать в другом месте.

Тупик классификации. Классифицировать начал Клейн с Эрлангенской программы. Он начал классифицировать геометрию. Но все чаще хочется вспомнить великого украинского философа Сквороду: Слава тебе, Господи, что ты создал все сложное ненужным, а все нужное несложным. Так вот оказывается, что сложные вещи классифицировать принципиально нельзя
Если математика рассуждает как мета-наука, то она впадает в релятивизм: что выберем, то и будем иметь

Но далее изучим зависимость от технологий!
Какие были главные технологии 20 века?
- ядерное оружие
- космические технологии
- надежные шифры.
Соответственно, развивались дифференциальные уравнения и дискретная математика.
Что будет важно в 21 веке?
- Проектирование будущего
- высокие гуманитарные технологии
- технологии сборки и уничтожения субъектов.

То есть заказ будет со стороны социологии, психологии и прочего. Оранжевая революция это уже показала. Надо работать с людьми, а не с автоматами. Надежные шифры здесь не помогут.

Основные достижения математики 20 века, по мнению Арнольда:
- Расцвет геометрии и дифференциальной топологии
- Геометризация всех ветвей математики
- Открытие алгоритмически неразрешимых задач
- Компьютерные исследования.

Концепция пределов науки. Начнем с того, что есть болезни науки.
- Разделение на естественников и гуманитариев. Гуманитарии знают, что, естественники знают, как.
- Парадокс Вавилонской башни. Люди говорят на разных языках.
- Путь до переднего края слишком длинен. Большинство не может его пройти.
- Отрыв учебы от реальной науки.

Эра великих географических открытий в науке закончилась. В химии, судя по индексам цитирования, большинство главных открытий сделано с 1916 по 1956 год. То же в других науках, хотя точных данных нет.
Сейчас наука становится другой. Что требуется?
- Во-первых, вычислительная точность. Раньше достаточно было знать положение Марса до 700 километров, сейчас, чтобы посадить туда аппарат, нужно знать с точностью до 700 метров.
- Затем, появляется разработка дискретных моделей физических процессов.
- Затем, решение некорректных задач, по Адамару. Что такое корректные задачи? Это когда а) решение существует; б) оно единственное; в) оно устойчиво по начальным данным. Сейчас очень много задач, которые не корректны по всем трем пунктам, а решать надо.
И вот, каждая фундаментальная наука предъявляет свой предел. ТО – скорость света, КМ – невозможность точно вычислить определенные вещи и т.п. И у математики тоже есть предел: принципиальная невозможность вычислить поведение сложной системы.
Пределы компьютерной математики. Многое надеялись получить от нее, но ничего не получили. Эти пределы очень близко. Оказалось, что наши возможности имитировать то, чего мы не понимаем, очень малы. [Самая великая фраза дня! - ЕК].

А вот междисциплинарные математические теории:
- Теория катастроф
- Теория самоорганизации
- Теория клеточных автоматов.

Сверхзадачи 21 века:
- Теория управления рисками
- Нейронаука
- Математика в исторической науке.

Как мыслит мозг? Вот бы что промоделировать. Жаль, Пенроуз доказал, что это невозможно. Сам Пенроуз вот решил задачу, которую не мог решить компьютер.
Или вот вычисления для биологии. Сейчас была задача прочитать геном. Прочитали – и ничего не поняли [Вторая великая фраза дня].

Искушение имитации: соблазн построить искусственную жизнь.

Есть такое предложение: давайте оставим человеку человеково, а компьютеру компьютерово. Компьютеру отойдут вычисления, а человеку останется математика как изящное искусство. Беда в том, что для того, чтобы заниматься искусством, нужно хорошо уметь отличать, что хорошо, а что плохо. А мы этого не умеем.

В прогнозах относительно будущего математики были оптимисты и пессимисты. Гильберт был оптимист. Он сказал: у математики будущего будет только одна проблема: на обложках математических журналов не будет хватать места для фамилий всех редакторов.
Колмогоров был более реалистичен: математика в будущем веке загнется из-за всевластия бюрократических структур.
А Арнольд сказал, что ее продвинет развитие взаимосвязей между областями.

Что предлагается сделать нам сейчас?
- Очертить область нашего незнания
- Очертить сферы, где нужно междисциплинарное общение
- Заглянуть в будущее!



Аудиозапись семинара (36 М) и страница с двумя клипами
В начале там доклад Тихомирова, тоже очень интересный.