Почему Герман Вейль сказал "За душу каждой математической области борются ангел топологии и демон абстрактной алгебры"?
Во-первых, что означает душа математической области? Ну это ладно, допустим, понятно. Метафора. Речь о том, в каком духе эту область будут разрабатывать.
Во-вторых, имел ли он в виду, что каждую математическую область можно рассматривать с точки зрения топологии и с точки зрения абс. алгебры? Чтобы я это поняла, нужно чтобы мне математики это объяснили. Алгебра и топология настолько взаимозаменяемы и альтернативны?
В-третьих, почему топология есть сторона ангельская, а алгебра - бесовская? Здесь у меня есть предположение, грубо говоря, что топология - это как бы то, что наглядно, интуитивно понятно, напрямую дано. А абс. алгебра - это техника, которую можно применять не понимая. Это верно?

Можно ли как-нибудь оценить количество информации, которое содержится в единичном высказывании, не беря в расчет контекст? ( Read more... )

На семинаре по философии математике В.Я. Перминов говорил, что математические теории растут, как кристаллы. За конечное время они освобождаются от противоречий.
Рост у них ограничен. Сначала возникает несколько креативных теорем, потом под них подбирается хорошая аксиоматика. Признаки хорошей аксиоматизации:
- достаточная
- минимальная
- элементарная
Затем появляются остальные теоремы, которые можно вывести из этой аксиоматики, но не до бесконечности, а до какого-то логического конца.
Если противоречия были в теоремах, то они окажутся и в аксиомах. Противоречия бывают:
- непосредственные
- слабо скрытые
- глубокие, очень далекие
- недостижимые.
Но Перминов полагает, что недостижимых на самом деле не бывает, математика имеет такую практику, что за конечное число шагов противоречия будут выявлены.

И вот еще что считает Перминов:


аудиозапись, 30 М

Еще несколько видеоматериалов с семинара

Иными словами,
логика / мысль = математика / ? ( ? )

Насколько я поняла идею функции у Лейбница, независимая переменная и функция соотносились у него как причина и следствие, то есть x - причина, f(x) - следствие. А собственно вид функции (напр., степенная, экспонента и т.п.) представлял вид причинной зависимости.
Когда различие между двумя случаями, представляющимися в том, что дано или допускается, может уменьшаться таким образом, что оно становится меньше всякой величины, то необходимо, чтобы и различие между соответственными случаями, представляющимися в искомых или в выводах, вытекающих из того, что дано или допускается, уменьшалось таким образом, чтобы оно становилось меньше всякой величины ("Два отрывка о принципе непрерывности")
Здесь непрерывность аргумента - это непрерывный переход причин друг в друга, а непрерывность функции - это непрерывный переход следствий. Принцип непрерывности у Лейбница несет простой здравый смысл: чем меньше отличаются друга причины, тем меньше отличаются и следствия. ( А что сейчас? )

Заронив в умы светлую идею, славный zouboff так и канул с ней в молчание. Поэтому придется мне выразить, что я думаю по этому поводу. ( Что я думаю )

Недавно открыла для себя философию математики Гегеля. ( Read more... )

Обсуждали тут прафеномены, и я вот задумалась над таким вопросом. Вот элементарные функции в математике. Смотрите, какое определение:
Элементарные функции - это класс функций, состоящий из многочленов, рациональных функций, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций...
Определение совпадает с математической энциклопедией.
Почему именно такие? Почему их именно столько? Есть ли доказательство, что класс элементарных функций исчерпывается именно этими, что не может быть найдено никаких других? Есть ли вообще какие-то признаки, которые характеризуют элементарные функции? Потому что мы умеем выполнять только четыре математические действия, а эти функции представляют все возможные комбинации этих четырех действий? Опять же: есть ли доказательство, что именно все?
Может быть, я не знаю, где искать?

На семинаре по философии математики докладчик В.А. Янков начал с того, что выделил онтологические предпосылки принципа индукции: 1) постоянство мира и 2) бессмертие субъекта.

Затем сосредоточился на негейтинговском варианте интуиционизма с бар-индукцией

А.В. Ахутин был в задумчивости:

А.Н. Кричевец старался вникнуть:

В.Х. Хаханян пообещал в следующий раз сказать то же самое проще:

- но я думаю, он Гейтинга будет рассказывать.
А вот как сам автор излагает в жанре диалога

Скачать запись семинара (25 М).

Вот здесь - полный текст статьи про математику как язык.
Хотела еще написать про конформность, но пока не складывается ничего удобоваримого.

Сначала я не собиралась писать про теорию моделей, хотя у timur0 доводилось читать про нее. ( но потом написала )

Теперь несколько слов о языке и мета-языке. В самом начале мы сказали, что лучше не допускать такой ситуации, когда знак отсылает к самому себе. Аналогично дело обстоит с языком. Не нужно допускать ситуации, когда язык описывает самого себя. Это автореференция, которая чревата, помимо парадоксов, и смысловыми искажениями, потому что получается, что один и тот же знак имеет несколько значений - свое внешнее и самого себя. Язык2, на котором ведется разговор о некотором языке1, будет по отношению к языку1 мета-языком.
Только что мы пришли к выводу, что язык математики - это содержательный язык для физики (не только для физики, но это сейчас не важно), вполне удовлетворяющий требованиям, которые предъявляются к языку: отсутствие автореференции и конформность, то есть способность выразить связь вещей внешнего мира, не привнося в это своей логики. Математический язык, на котором говорит физика - это, стало быть, будет у нас язык1. Наука математика - это наука о том языке, на котором говорит физика; математика - это наука о языке математики. Стало быть, она должна говорить на другом языке, иначе возникнет автореферентность. Язык математики должен быть языком2, мета-языком по отношению к языку1.
Мы также выяснили, что законы языка1 в языке2 предстают как гипостазированные сущности. Легкость логического обращения гипостазирования и схематизации (в кантовском смысле) соответствует легкости перехода между языком1 и языком2.
На первый взгляд в математике ничего подобного нет. Из этого мне даже очень хочется сразу сделать такой вывод: самое первое предположение, что математика вообще есть язык, привело нас наконец-то к противоречию. Очень долго не приводило, сложилось даже относительно красивая теория, но вот наконец привело. Ибо мы не наблюдаем, на первый взгляд, в математике двух языков, одного для физики, а другого для самой математики. Ну, и, раз получилось противоречие, из этого должно бы следовать, что первое предположение неверно. Математика - не язык.
Но не все так просто.
(на этом на какое-то время текст обрывается)

По-видимому, идея о том, что математика есть язык, берет начало в известном высказывании Галилея "Книга природы написана на языке математики". И тогда на естественно возникающий вопрос "Языком чего является математика? " - ответ будет один: она – язык природы; точнее говоря, язык физики, науки о природе.
Идея Канта о том, что математика базируется на априорных формах чувства и мышления, в принципе, приводит к тому же результату. Мир природы – это мир возможного опыта; условиями возможного опыта являются априорные структуры; все, что относится к этим структурам, обладает качествами "всеобщности и необходимости". Отсюда естественно вытекает и известное высказывание Канта: в каждой науке столько науки, сколько в ней математики. Ибо только математика выражает всеобщее и необходимое, просто потому, что она выражает законы восприятия и законы мысли самого субъекта.
Но математика у Канта – это форма, по крайней мере для естествознания. Физические законы имеют математическую форму – почему? – потому что только такая форма указывает на то, что субъект не может воспринимать их иначе. Таким образом, и у Канта получается, что математика – это язык физики, точнее говоря, язык ее законов.

логики не пожалеют: духовная экзегеза материальной импликации